Pengertian Aturan Sinus dan Cosinus

Aturan Sinus dan Cosinus adalah salah satu materi dalam pelajaran matematika di Indonesia yang sering diajarkan pada siswa kelas X dan XI SMA. Dalam pelajaran ini, siswa diajarkan tentang rumus untuk menghitung sudut, sisi, dan luas segitiga yang dikenal dengan aturan sinus dan cosinus.

Dalam pelajaran trigonometri, perhitungan aturan sinus dan cosinus sangat penting karena dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam ilmu fisika, misalnya menghitung kecepatan gelombang dan getaran.

Aturan Sinus dan Cosinus sangat berguna ketika kita ingin mencari sisi atau sudut yang tidak diketahui dalam sebuah segitiga. Aturan sinus digunakan ketika kita ingin mencari sisi segitiga yang tidak diketahui, sedangkan aturan cosinus digunakan untuk mencari sudut segitiga yang tidak diketahui.

Aturan sinus dan cosinus pertama kali dikembangkan oleh ilmuwan Persia, Muhammad Al-Khwarizmi pada abad ke-9. Namun, aturan ini tidak hanya dikenal di Indonesia, melainkan juga di seluruh dunia. Hingga saat ini, aturan sinus dan cosinus masih digunakan dalam berbagai ilmu pengetahuan dan teknologi.

Menyelesaikan Soal Trigonometri dengan Aturan Sinus

Aturan Sinus adalah rumus matematika yang digunakan untuk menghitung rasio antara sisi suatu segitiga dengan sinus sudut dalam segitiga tersebut. Dalam menjawab soal trigonometri menggunakan aturan sinus, pertama-tama kita harus mengetahui informasi lengkap tentang segitiga, yaitu panjang sisi dan ukuran sudut.

Berikut adalah contoh soal dan cara menyelesaikannya dengan menggunakan Aturan Sinus:

Contoh Soal: Dalam segitiga ABC, sudut A besarnya 50 derajat, sudut B besarnya 70 derajat, dan panjang sisi AC=12 cm. Hitunglah panjang sisi BC dan AB!

Penyelesaian:

Pertama-tama, kita harus mengetahui sudut yang belum diketahui besarnya. Sudut C dapat kita hitung dengan menggunakan rumus:

Sudut C = 180 – (sudut A + sudut B)

Sudut C = 180 – (50 + 70)

Sudut C = 60 derajat

Selanjutnya, kita dapat menggunakan Aturan Sinus untuk menghitung panjang sisi yang belum diketahui. Pada segitiga ABC, kita akan menggunakan Aturan Sinus untuk menghitung panjang sisi AB, karena sisi yang diketahui adalah sisi AC.

Aturan Sinus menyatakan:

$\frac{AB}{\sin A}$ $=$ $\frac{AC}{\sin C}$

Kita punya informasi:

$\sin A$ $=$ $\frac{\text{jari-jari sebelah A}}{\text{hipotenusa}}$

$\sin 50$ $=$ $\frac{\text{jari-jari sebelah A}}{AC}$

$\frac{\text{jari-jari sebelah A}}{AC}$ $=$ $\sin 50$

$\text{jari-jari sebelah A}$ $=$ $\sin 50$ $\times$ $AC$

$\text{jari-jari sebelah A}$ $=$ $\sin 50$ $\times$ 12

$\text{jari-jari sebelah A}$ $=$ 9,27

Selanjutnya, kita dapat menggunakan Aturan Sinus lagi untuk menghitung panjang sisi BC:

$\frac{BC}{\sin B}$ $=$ $\frac{AC}{\sin C}$

Kita punya informasi:

$\sin B$ $=$ $\frac{\text{jari-jari sebelah B}}{\text{hipotenusa}}$

$\sin 70$ $=$ $\frac{\text{jari-jari sebelah B}}{AC}$

$\frac{\text{jari-jari sebelah B}}{AC}$ $=$ $\sin 70$

$\text{jari-jari sebelah B}$ $=$ $\sin 70$ $\times$ $AC$

$\text{jari-jari sebelah B}$ $=$ $\sin 70$ $\times$ 12

$\text{jari-jari sebelah B}$ $=$ 11,41

Jadi, panjang sisi AB $=$ 9,27 cm dan panjang sisi BC $=$ 11,41 cm.

Dalam menyelesaikan soal trigonometri dengan Aturan Sinus, pastikan bahwa segitiga sudah lengkap dengan informasi sisi dan sudut semua. Selain itu, perhatikan juga unit yang digunakan dalam menentukan panjang sisi dalam soal, apakah dalam satuan cm, mm, atau lainnya, sehingga hasil hitungan yang didapat juga memiliki satuan yang sama.

Menyelesaikan Soal Trigonometri dengan Aturan Cosinus

Aturan cosinus berfungsi untuk menyelesaikan segitiga yang memiliki dua sisi dan satu sudut yang tidak diberi, atau yang biasa disebut dengan segitiga ACA (Adjacent-Corner-Angles). Rumus pada aturan cosinus yaitu:
cos A = (b² + c² – a²) / 2bc
cos B = (a² + c² – b²) / 2ac
cos C = (a² + b² – c²) / 2ab
Dimana A, B, atau C merupakan sudut pada segitiga dan a, b, c merupakan sisi pada segitiga. Selain itu, pada aturan cosinus juga terdapat rumus yang berhubungan dengan sinus, yaitu:
sin A = (b sin C) / a
sin B = (a sin C) / b
sin C = (a sin B) / b = (b sin A) / a
Dalam penerapannya, pada suatu segitiga caa, untuk menentukan nilai dari sudut, kita perlu menambahkan nilai derajat lain yang sudah diketahui atau jika belum diketahui maka kita perlu mencari nilainya terlebih dahulu. Berikut merupakan contoh soal pada aturan cosinus dan sinus.

Contoh Soal:
Pada segitiga ABC, sudut A = 54^o, sisi AB = 5, dan sisi BC = 7. Hitunglah sisi AC.

Penyelesaian:
Diketahui:
Sudut A = 54^o
AB = 5
BC = 7
Ditanya:
AC?
Langkah-langkah:
1. Kita perlu mencari sisi AC dengan menggunakan aturan cosinus.
cos A = (b² + c² – a²) / 2bc
cos 54^o = (5² + 7² – AC²) / 2 x 5 x 7
cos 54^o = (25 + 49 – AC²) / 70
cos 54^o x 70 = 74 – AC²
AC² = 74 – 42.43
AC = sqrt(31.57)
AC = 5.62 (sehingga sisi AC dapat dibulatkan menjadi 6)
Jadi sisi AC dari segitiga ABC adalah 6 unit.

Menerapkan Aturan Sinus dan Cosinus dalam Kasus Trigonometri Lainnya

Aturan sinus dan cosinus merupakan salah satu bab penting dalam pelajaran trigonometri. Dalam pelajaran trigonometri, kita akan banyak menemukan berbagai macam problem-solving yang menggunakan aturan sinus dan cosinus. Namun, tidak hanya itu saja, ada juga beberapa kasus lainnya yang bisa diselesaikan dengan bantuan aturan sinus dan cosinus. Berikut contoh-contohnya:

Mencari Panjang Sisi Miring segitiga Belah Ketupat

Salah satu kasus lain yang bisa diselesaikan menggunakan aturan sinus dan cosinus adalah mencari panjang sisi miring segitiga belah ketupat. Seperti yang kita ketahui, segitiga belah ketupat memiliki keempat sisinya sama panjang dan sudut-sudut yang berpasangan mempunyai nilai sama besarnya.

Kita dapat menggunakan aturan cosinus untuk menyelesaikan permasalahan ini. Rumusnya adalah:

Dalam rumus ini, a dan b adalah panjang dari sisi-sisi yang diketahui, sedangkan c adalah panjang sisi miring yang akan dicari. θ adalah nilai sudut antara sisi a dan b.

Sebagai contoh, diketahui segitiga belah ketupat dengan sisi 6 cm dan sudut di antara kedua sisi tersebut adalah 60 derajat. Maka, panjang sisi miring segitiga belah ketupat tersebut adalah:

Jadi, panjang sisi miring segitiga belah ketupat tersebut adalah 6√3 cm.

Mencari Tinggi Mendatar Menara

Kasus lainnya yang dapat diselesaikan dengan aturan sinus dan cosinus adalah mencari tinggi mendatar sebuah menara. Kita dapat menggunakan aturan sin untuk menyelesaikan permasalahan ini.

Formula dari aturan sin adalah:

Dalam rumus ini, h adalah tinggi menara yang akan dicari, α adalah sudut yang dibentuk oleh sisi mendatar menara dengan tanah dan d adalah jarak dari posisi kita ke menara.

Sebagai contoh, kita akan mencari tinggi mendatar sebuah menara yang berjarak 30 meter dari kita, dan membentuk sudut dengan tanah sebesar 60 derajat. Maka, tinggi mendatar menara tersebut adalah:

Jadi, tinggi mendatar menara tersebut adalah 15√3 meter.

Mencari Jarak Horisontal Suatu Benda

Kasus lain yang bisa diselesaikan dengan aturan sinus dan cosinus adalah mencari jarak horizontal suatu benda yang berada pada ketinggian tertentu. Seperti halnya mencari tinggi mendatar menara, kita juga dapat menggunakan aturan sin pada kasus ini.

Rumus yang digunakan adalah:

Dalam rumus ini, d adalah jarak horizontal yang akan dicari, h adalah tinggi dari benda tersebut dan α adalah sudut elevasi dari benda tersebut.

Hingga suatu tinggi h, kita akan akan menemukan benda dengan sudut elevasi α pada tanah. Maka, jarak horizontal dari benda tersebut adalah:

Sebagai contoh, suatu benda berada pada ketinggian 80 meter dari tanah. Ketika kita melihat benda tersebut, sudut elevasinya sebesar 30 derajat. Maka, jarak horizontal dari benda tersebut adalah:

Jadi, jarak horizontal dari benda tersebut adalah 138,6 meter.

Dari contoh-contoh kasus di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa aturan sinus dan cosinus dapat digunakan dalam berbagai macam kasus dalam pelajaran trigonometri. Namun, kita harus selalu berhati-hati dalam mengaplikasikannya pada permasalahan yang ada. Pastikan kita memahami permasalahan dengan baik dan menyelesaikannya dalam derajat yang sama.

Contoh Soal Latihan Aturan Sinus dan Cosinus

Aturan sinus dan cosinus merupakan salah satu materi yang sering dipelajari oleh siswa-siswa di Indonesia. Aturan ini biasanya ditemukan dalam pelajaran matematika, terutama pada ranah trigonometri. Untuk membantu siswa belajar, berikut adalah contoh soal latihan aturan sinus dan cosinus beserta penjelasannya.

Contoh Soal 1

Sebuah tiang bendera memiliki tinggi 15 meter. Jika jarak dari ujung bayangan tiang bendera pada saat sinar matahari membentuk sudut tertentu dengan tanah adalah 20 meter, maka berapa besar sudut elevasi sinar matahari tersebut?

Penyelesaian:

Dalam soal ini, kita akan menggunakan aturan sinus karena kita sudah mengetahui panjang sisi miring dan sudut yang dicari adalah sudut yang berlawanan dengan sisi miring.

Sin sudut elevasi = tinggi tiang bendera / jarak ujung bayangan tiang bendera = 15/20 = 0,75

Sudut elevasi = sin^-1(0,75) = 48,59°

Jadi, sudut elevasi sinar matahari tersebut adalah sekitar 48,59°.

Contoh Soal 2

Sebuah menara memiliki ketinggian 85 meter. Ketika seorang pengamat berjarak 70 meter dari kaki menara, ia mengukur sudut elevasi ke puncak menara sebesar 35°. Berapa tinggi menara tersebut?

Penyelesaian:

Dalam soal ini, kita akan menggunakan aturan tangen karena kita sudah mengetahui dua sisi segitiga, yaitu tinggi menara dan jarak pengamat dari menara.

Tan 35° = tinggi menara / jarak pengamat dari menara = tinggi menara / 70

tinggi menara = 70 × tan 35° = 70 × 0,7002 = 49.014 meter

Jadi, tinggi menara tersebut adalah sekitar 49.014 meter.

Contoh Soal 3

Sebuah kapal berada di tengah laut dan terlihat jelas dari menara pengawas yang tingginya 20 meter. Jarak antara menara pengawas dan kapal adalah 50 meter. Namun, pengawas tersebut tidak dapat mengukur sudut elevasi kapal karena kapal sedang di balik bukit. Berapa jarak kapal dari bukit tersebut?

Penyelesaian:

Dalam soal ini, kita akan menggunakan aturan cosinus karena kita sudah mengetahui dua sisi segitiga dan satu sudut.

Cos sudut elevasi = tinggi menara pengawas / jarak menara pengawas-kapal = 20/50 = 0,4

Sudut elevasi = cos^-1(0.4) = 66,42°

Sehingga, sudut dari menara pengawas ke bukit adalah 180° – 2 x 66,42° = 47,16°

Dengan menggunakan aturan cosinus sekali lagi, kita dapat menentukan jarak kapal dari bukit tersebut:

Cos 47.16° = jarak kapal dari bukit / jarak menara pengawas-kapal

jarak kapal dari bukit = (50 x cos 47.16°) = 32,24 meter

Jadi, jarak kapal dari bukit tersebut adalah sekitar 32.24 meter.

Contoh Soal 4

Sebuah pesawat sedang terbang pada ketinggian 10.000 meter. Jika sudut depresi pengamat pada lapangan terbang adalah 25°, maka berapa jarak antara lapangan terbang dengan pesawat tersebut?

Penyelesaian:

Dalam soal ini, kita akan menggunakan aturan tangen karena kita sudah mengetahui dua sisi segitiga, yaitu jarak antara pengamat dan pesawat serta ketinggian pesawat.

Tan 25° = ketinggian pesawat / jarak antara lapangan terbang dan pesawat

Jarak antara lapangan terbang dan pesawat = ketinggian pesawat / tan 25°

Jarak antara lapangan terbang dan pesawat = 10.000 / tan 25° = 22038,4 meter atau sekitar 22 km

Jadi, jarak antara lapangan terbang dengan pesawat tersebut adalah sekitar 22 km.

Contoh Soal 5

Sebuah lampu jalan terlihat oleh dua orang pengamat yang berjarak 40 meter dan membentuk sudut elevasi lampu sebesar 30° dan 60°. Berapa tinggi lampu jalan tersebut?

Penyelesaian:

Dalam soal ini, kita akan menggunakan aturan tangen karena kita sudah mengetahui dua sisi segitiga (jarak antara pengamat dan lampu) dan dua sudut elevasi (30° dan 60°).

Tan 30° = tinggi lampu / jarak pengamat pertama dari lampu

tinggi lampu = jarak pengamat pertama dari lampu x tan 30° = 40 x 0,577 = 23,08 meter

Tan 60° = tinggi lampu / jarak pengamat kedua dari lampu

tinggi lampu = jarak pengamat kedua dari lampu x tan 60° = 40 x 1,732 = 69,28 meter

Jadi, tinggi lampu jalan tersebut adalah sekitar 23,08 meter atau 69,28 meter tergantung dari sudut elevasi pengamat.

Dengan melatih diri mengerjakan contoh soal aturan sinus dan cosinus seperti di atas, diharapkan siswa dapat lebih mahir dalam menerima materi trigonometri ini dan mampu menerapkannya dalam kehidupan sehari-harinya.