Pendahuluan

Halo Pembaca Sekalian,

Artikel ini akan membahas tentang cara untuk menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear. Sistem persamaan linear sendiri merupakan kumpulan beberapa persamaan yang harus diselesaikan secara simultan. Pada materi matematika, sistem persamaan linear dipelajari sebagai langkah awal dalam mempelajari aljabar linear. Dalam dunia teknik, sistem persamaan linear juga digunakan dalam berbagai aplikasi seperti perhitungan rangkaian listrik, pembuatan model matematika pada perencanaan proyek, dan lain-lain.

Sebelum memahami bagaimana menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear, terlebih dahulu kita perlu memahami beberapa konsep pembahasan yaitu:

1. Persamaan Linear

Persamaan linear adalah persamaan matematika yang memuat variabel dengan pangkat 1 atau dikenal juga dengan istilah persamaan derajat satu. Persamaan ini memiliki bentuk umum y = mx + c, dengan m sebagai koefisien variabel x dan c sebagai konstanta atau bias. Contoh persamaan linear yaitu:

2. Variabel

Variabel adalah sebuah simbol atau huruf yang dapat diisikan nilai apapun untuk memenuhi persamaan. Contoh variabel pada persamaan linear x + 2y = 3, adalah x dan y.

3. Sistem Persamaan Linear

Sistem Persamaan Linear adalah kumpulan beberapa persamaan linear yang harus diselesaikan secara simultan. Sistem persamaan linear dapat diwakili oleh bentuk Matriks Augmented, yaitu:

Dalam bentuk matriks augmented tersebut, kolom terakhir adalah hasil dari persamaan linear terkait nilai variabel.

4. Baris Baru

Baris baru adalah proses dalam matriks augmented dengan mengganti baris ketika terdapat variabel yang memiliki koefisien nol.

5. Operasi Baris Elementer

Operasi baris elementer adalah proses pada matriks augmented dengan cara menjumlahkan, mengurangi, atau mengalikan setiap baris dengan konstanta tertentu. Operasi baris elementer diperlukan untuk mempermudah dalam penyelesaian sistem persamaan linear.

6. Matriks Identitas

Matriks identitas adalah matriks persegi dengan diagonal yang terdiri dari nilai 1, dan elemen lainnya diisi 0. Matriks identitas sangat penting dalam penyelesaian matriks augmented.

7. Himpunan Penyelesaian

Himpunan penyelesaian adalah kumpulan setiap nilai variabel yang memenuhi semua persamaan linear dalam sistem. Himpunan penyelesaian dalam matriks augmented diperoleh dari reduksi matriks augmented menjadi matriks Eselon Baris Tereduksi.

Dengan memahami konsep tersebut, maka kita dapat melakukan langkah-langkah penyelesaian sistem persamaan linear.

Kelebihan dan Kekurangan Tentukan Himpunan Penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear

Kelebihan

1. Menyelesaikan masalah secara simultan

Dengan menggunakan sistem persamaan linear, kita dapat menyelesaikan beberapa persamaan secara simultan sehingga mempermudah dalam menyelesaikan permasalahan yang kompleks.

2. Digunakan pada aplikasi praktis

Sistem persamaan linear digunakan pada aplikasi praktis seperti dalam perhitungan rangkaian listrik pada dunia teknik.

3. Fundamental pada pembelajaran aljabar linear

Sistem persamaan linear menjadi fundamental pada pembelajaran aljabar linear, yang diperlukan dalam pemecahan masalah matematika yang lebih kompleks.

4. Memudahkan perencanaan proyek

Sistem persamaan linear dapat digunakan pada perencanaan proyek, dalam membuat model matematika yang berkaitan dengan perencanaan suatu proyek.

Kekurangan

1. Kompleks dalam memperoleh himpunan penyelesaian

Proses reduksi matriks augmented ke dalam matriks eselon baris tereduksi memerlukan keterampilan yang cukup dalam melakukan operasi matriks, sehingga bagi yang awam dalam matematika dapat menemui kesulitan dalam menyelesaikan sistem persamaan linear.

2. Memakan waktu relatif dalam penyelesaian

Proses penyelesaian sistem persamaan linear memakan waktu yang relatif lama, terutama bagi sistem persamaan linear yang kompleks.

3. Sulit dipahami

Sistem persamaan linear memerlukan keterampilan dasar dalam pemahaman matematika, sehingga bagi orang awam yang tidak memiliki latar belakang matematika yang cukup dapat menemui kesulitan dalam memahami sistem persamaan linear.

4. Sensitivitas terhadap kesalahan input

Sistem persamaan linear bersifat sensitif terhadap kesalahan input, sehingga memerlukan ketelitian yang cukup dalam pengisian persamaan linear pada matriks augmented.

Tentukan Himpunan Penyelesaian dari Sistem Persamaan Linear

Langkah-langkah dalam menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah sebagai berikut:

1. Menuliskan Sistem Persamaan Linear dalam Bentuk Matriks Augmented

Sistem persamaan linear pada contoh di atas dapat dituliskan dalam bentuk matriks augmented sebagai berikut:

2. Menggunakan Operasi Baris Elementer

Dalam melakukan reduksi matriks augmented, terdapat tiga operasi baris elementer yang dapat digunakan, yaitu:

• Melakukan pertukaran baris dalam matriks augmented
• Mengalikan suatu baris dalam matriks augmented dengan bilangan real tidak sama dengan nol
• Menambah baris tertentu dalam matriks augmented dengan hasil kali suatu bilangan dan baris lainnya

Dalam contoh ini, kita akan menggunakan operasi baris elementer pertama dan ketiga untuk menghasilkan matriks eselon baris tereduksi.

3. Proses Reduksi Baris

Proses Reduksi Baris bertujuan untuk mempermudah operasi baris elementer sehingga matriks augmented menjadi matriks eselon baris.

Melakukan pembagian baris pertama dengan 1

Melakukan operasi baris elementer dengan mengurangkan 3 kali baris pertama dari baris kedua

Melakukan operasi baris elementer dengan mengalikan baris kedua dengan -1/7

Melakukan operasi baris elementer dengan mengurangkan 2 kali baris kedua dari baris pertama

Dengan begitu, diperoleh matriks eselon baris tereduksi sebagai berikut:

Sehingga, kita dapat menentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan:

x = 1/7 dan y = 5/7

4. Memahami Himpunan Penyelesaian

Himpunan penyelesaian yang diperoleh adalah (1/7 , 5/7). Artinya, kombinasi nilai variabel x dan y yang memenuhi semua persamaan linear dalam sistem adalah x = 1/7 dan y = 5/7.

FAQ:

1. Apa itu sistem persamaan linear?

Sistem persamaan linear merupakan kumpulan beberapa persamaan yang harus diselesaikan secara simultan.

2. Apa saja langkah-langkah penyelesaian sistem persamaan linear?

Langkah-langkah penyelesaian sistem persamaan linear adalah menuliskan sistem persamaan linear dalam bentuk matriks augmented, menggunakan operasi baris elementer, proses reduksi baris dan memahami himpunan penyelesaian.

3. Mengapa sistem persamaan linear sering kali digunakan dalam aplikasi teknik?

Sistem persamaan linear sering digunakan dalam aplikasi teknik karena memungkinkan untuk menyelesaikan masalah secara simultan dan dapat digunakan pada perhitungan rangkaian listrik maupun pembuatan model matematika pada perencanaan proyek.

4. Apa saja kelebihan sistem persamaan linear?

Kelebihan sistem persamaan linear adalah dapat menyelesaikan masalah secara simultan, digunakan pada aplikasi teknik, fundamental pada pembelajaran aljabar linear, dan memudahkan perencanaan proyek.

5. Apa saja kekurangan sistem persamaan linear?

Kekurangan sistem persamaan linear adalah kompleks dalam memperoleh himpunan penyelesaian, memakan waktu relatif dalam penyelesaian, sulit dipahami, dan bersifat sensitif terhadap kesalahan input.

6. Apa itu matriks eselon baris tereduksi?

Matriks eselon baris tereduksi adalah matriks eselon baris yang telah diubah dengan menggunakan operasi baris elementer hingga menjadi lebih sederhana, sehingga dapat mempermudah proses penyelesaian dari sistem persamaan linear.

7. Apa itu himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear?

Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear adalah kumpulan setiap nilai variabel yang memenuhi semua persamaan linear dalam sistem.

8. Apa yang dimaksud dengan operasi baris elementer dalam matriks augmented?

Operasi baris elementer adalah proses pada matriks augmented dengan cara menjumlahkan, mengurangi, atau mengalikan setiap baris dengan konstanta tertentu. Operasi baris elementer diperlukan untuk mempermudah dalam penyelesaian sistem persamaan linear.

9. Apa yang dimaksud dengan matriks identitas?

Matriks identitas adalah matriks persegi dengan diagonal yang terdiri dari nilai 1, dan elemen lainnya diisi 0. Matriks identitas sangat penting dalam penyelesaian matri

Minimize

Fungsi dari Sosiologi dalam Masyarakat

Pecahan yang Senilai dengan 1 2: Kelebihan dan Kekurangan

Kue khas Kota Pontianak yang selalu dirindu dan diburu saat Ramadhan

Andika Perkasa Kabinet